Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 1; 0). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

(a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).

(b) Phương trình mặt phẳng (P) là \(x + y - z + 1 = 0\).

(c) Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).

(d) Điểm \(N\left( {1; - 2;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (P).

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Ta có OA + OB + OC = a + b + c.

Vì M(1; 4; 9) ∈ (P) \( \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Ta có \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\) \(a + b + c \ge 36\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\).

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).

Vậy \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).

Trả lời: 5,14.

Dựa vào hệ trục tọa độ đã vẽ, ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;3} \right),C\left( {2;2;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {2;2; - 3} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;2; - 3} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right) = 2\left( {0;3;2} \right) = 2\overrightarrow n \).

Mặt phẳng (SCD) đi qua điểm S nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình

\(3y + 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} \approx 1,67\).

Trả lời: 1,67.