Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt ở vị trí \(I\left( {1;3;7} \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(3{\rm{km}}\).

(a) Phương trình mặt cầu \((S)\) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \({(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 7)^2} = 9\).

(b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \(B\left( {5;6;7} \right)\) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

(c) Điểm \(A\left( {2;2;7} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

(d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ \(A\left( {2;2;7} \right)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\,(1;\,0;\,2)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)\)là:

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( {2;1;3} \right).\)

(a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right).\)

(b) Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)

(c) Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)

(d) Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Khi đó, \(\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {10} }}.\)

Trong không gian \[Oxyz\] (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí \(I\left( {200\,;\,450\,;\,60} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(m\) (làm tròn đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí \(A\left( {m + 100\,;\,m + 370\,;\,0} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{4}\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?

Trong không gian \[Oxyz\], cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\] bằng

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 3 = 0\) có bán kính là: