Một phòng học có nền nhà hình chữ nhật với chiều rộng là \(5\,\,{\rm{m}}\) và chiều dài hơn chiều rộng \(3\,\,{\rm{m}}\).

a) Tính diện tích nền phòng học đó.

b) Để lát nền phòng học trên, người ta dùng loại gạch men hình vuông có cạnh là \[40\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Nếu một viên gạch giá \[24{\rm{ }}000\] đồng và tiền công lát nền trả cho \(1\,\,{{\rm{m}}^2}\) là \[50{\rm{ }}000\] đồng thì số tiền phải trả cho tiền lát nền căn phòng là bao nhiêu? Biết rằng cửa hàng bán gạch men chỉ bán theo viên và bỏ qua những mép vữa không đáng kể.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của trường đó \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,200 \le x \le 300} \right)\).

Vì nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thừa ra 5 chỗ trống nên ta có \(\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,35,\,\,\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,40.\)

Suy ra \(x + 5 \in \)BC\(\left( {35,\,\,40} \right)\).

Ta có: \(35 = 5 \cdot 7\) và \(40 = {2^3} \cdot 5\).

Do đó BCNN\(\left( {35,\,\,40} \right) = {2^3} \cdot 5 \cdot 7 = 280\).

Nên BC\[\left( {35,\,\,40} \right) = \] B\(\left( {280} \right) = \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\).

Hay \(x + 5 \in \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\)

Suy ra \(x \in \left\{ { - 5;\,\,275;\,\,555;\,\,835;\,\,...} \right\}\)

Mà \(200 \le x \le 300\) nên \(x = 275.\)

Vậy trường có \(275\) học sinh.

f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}\)

\( = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)\)

\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]

\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\]                   (tương tự câu d)

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]

\( = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.\)