Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

c) \(C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}.\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của trường đó \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,200 \le x \le 300} \right)\).

Vì nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thừa ra 5 chỗ trống nên ta có \(\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,35,\,\,\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,40.\)

Suy ra \(x + 5 \in \)BC\(\left( {35,\,\,40} \right)\).

Ta có: \(35 = 5 \cdot 7\) và \(40 = {2^3} \cdot 5\).

Do đó BCNN\(\left( {35,\,\,40} \right) = {2^3} \cdot 5 \cdot 7 = 280\).

Nên BC\[\left( {35,\,\,40} \right) = \] B\(\left( {280} \right) = \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\).

Hay \(x + 5 \in \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\)

Suy ra \(x \in \left\{ { - 5;\,\,275;\,\,555;\,\,835;\,\,...} \right\}\)

Mà \(200 \le x \le 300\) nên \(x = 275.\)

Vậy trường có \(275\) học sinh.

f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}\)

\( = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)\)

\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]

\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\]                   (tương tự câu d)

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]

\( = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.\)