Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Cắt tứ diện bởi mặt phẳng \((GCD)\). Tính diện tích của thiết diện. (làm tròn đến hàng phần mười)

Chọn hệ trục tọa độ trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)như sau

Trong đó trục \[Ox\]mô tà là mặt nước thủy triều của sông; trục Oy là khoảng cách giửa đỉnh cầu và mặt nước thủy triều của sông.

Xét điểm \[M\left( {x;y} \right)\]nằm trên cung\[AB\], khoảng cách từ điểm \[M\left( {x;y} \right)\]đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ \[y\]của điểm \[M\].

Xét phương trình \(\frac{8}{{\sqrt 3 }}\cos \frac{x}{{12}} + 2 = 5,2 + 0,8 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{{12}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(x \in \left[ { - 6\pi ;6\pi } \right] \Rightarrow \frac{x}{{12}} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Nên \(\cos \frac{x}{{12}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{{12}} =  \pm \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x =  \pm 2\pi hay\left| x \right| = 2\pi \)

Để sà lan có thể đi qua được gầm cầu đúng qui định thì bề rộng khối hàng là

\(2\left| x \right| = 4\pi  = 4x3,14 = 12,56 \approx 12,6\)

Theo cách nói của An và xem như An thua tất cả các ván bài. Khi đó, số kẹo thua mỗi ván lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \[{u_1} = 10\] và công sai \[d = 10\].

Giả sử sau \[n\] ván thì An thua hết kẹo.

Khi đó: \[{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 625\]

\[ \Leftrightarrow n.{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d = 625 \Leftrightarrow 10n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.10 = 625 \Leftrightarrow 5{n^2} + 5n - 625 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 10,7\\n \approx  - 11,7\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow n \approx 10,7\]

Vậy, An nói đúng.