Trên mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(25{{\rm{m}}^2}\), người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là \(A\) và \(H\), với \(H\) thuộc cạnh \(BD\). Biết chi phí trồng cỏ là \(80\) (nghìn đồng)\(/{{\rm{m}}^2}\). Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu (nghìn đồng)?

Do vị trí \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = 3,\,MB = 6,\,MC = 5,\,MD = 13\)

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 3;b - 1;c} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {c^2} = {3^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 2b + 1 = 0\left( 1 \right)\]

\[\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 3;b - 6;c - 6} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2} = {6^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 12b - 12c + 45 = 0\left( 2 \right)\]

\[\overrightarrow {CM}  = \left( {a - 4;b - 6;c - 2} \right) \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {5^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 12b - 4c + 31 = 0\left( 3 \right)\]

\[\overrightarrow {DM}  = \left( {a - 6;b - 2;c - 14} \right) \Rightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 14} \right)^2} = {13^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12a - 4b - 28c + 67 = 0\left( 4 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\) ta có hệ phương trình \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10b + 12c = 44\\2a + 10b + 4c = 30\\6a + 2b + 28c = 66\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {1;2;2} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3\].

Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng \(3\).

(a) Đúng: Chi phí để A sản xuất 10 tấn sảm phẩm trong một tháng là \(C\left( {10} \right) = 10 + 30.10 = 400\)triệu.

(b) Sai: Số tiền mà \[A\] thu được (gọi là doanh thu) từ việc bán \[x\] tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \[B\] là: \(R\left( x \right) = x.P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) triệu đồng

Thay \(x = 10\) ta được \(R\left( {10} \right) = 449\) triệu đồng

(c) Đúng: Lợi nhuận (triệu đồng) mà \(A\) thu được là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\)

(d) Đúng: Xét hàm số \(P\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) ta có:

\(P'\left( x \right) =  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2  \in \left[ {0;\,100} \right]\)

Ta có \(P\left( 0 \right) =  - 100;\,\,P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2  - 100 \approx 607;\,\,P\left( {100} \right) = 400\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;\,100} \right]} P = P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2  - 100 \approx 667\)

Vậy \(A\) thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán \(50\sqrt 2  \approx 70,7\) tấn sản phẩm cho \(B\) mỗi tháng và lợi nhuận lớn nhất thu được khoảng \(607\)triệu đồng.