PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Ngày khai giảng năm học \(2024 - 2025\). Học sinh khối \(12\) trường THPT Nguyễn Hiền thả chùm bóng bay gắn thông điệp “Học Sinh khối \(12\) chiến thắng CT\(2018\)”. Ước tính độ cao \(h\)(tính bằng\(km\)) của chùm bóng bay so với mặt đất vào thời điểm\(t\) (đơn vị giờ) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = - {t^3} + 3{t^2},\left( {0 \le t \le 3} \right)\). Chùm bóng bay đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là: \(a\left( {km} \right)\). Tìm \(a?\)

Vì \(\Delta DHN\) đồng dạng với \(\Delta DBA\) nên \(\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{NH}}{{AB}} = x\), với \(0 < x < 1\).

Khi đó \(NH = x.AB\); \(DN = x.DA \Rightarrow AN = \left( {1 - x} \right)DA\).

Ta có \({S_{AMHN}} = AN.NH = x\left( {1 - x} \right).AB.DA = x\left( {1 - x} \right){S_{ABCD}} = 25x\left( {1 - x} \right)\).

Số tiền người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(80.25x\left( {1 - x} \right)\) (nghìn đồng).

Để số tiền lớn nhất thì \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Nhận thấy \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right) = x - {x^2} = \frac{1}{4} - {\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^2} \le \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0;1} \right)\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(500\) (nghìn đồng).

Do vị trí \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = 3,\,MB = 6,\,MC = 5,\,MD = 13\)

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 3;b - 1;c} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {c^2} = {3^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 2b + 1 = 0\left( 1 \right)\]

\[\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 3;b - 6;c - 6} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2} = {6^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 12b - 12c + 45 = 0\left( 2 \right)\]

\[\overrightarrow {CM}  = \left( {a - 4;b - 6;c - 2} \right) \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {5^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 12b - 4c + 31 = 0\left( 3 \right)\]

\[\overrightarrow {DM}  = \left( {a - 6;b - 2;c - 14} \right) \Rightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 14} \right)^2} = {13^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12a - 4b - 28c + 67 = 0\left( 4 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\) ta có hệ phương trình \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10b + 12c = 44\\2a + 10b + 4c = 30\\6a + 2b + 28c = 66\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {1;2;2} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3\].

Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng \(3\).