Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(A(3;1;0)\), \(B(3;6;6)\), \(C(4;6;2)\), \(D(6;2;14)\); vị trí \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = 3\), \(MB = 6\), \(MC = 5\), \(MD = 13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu?

Vì \(\Delta DHN\) đồng dạng với \(\Delta DBA\) nên \(\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{NH}}{{AB}} = x\), với \(0 < x < 1\).

Khi đó \(NH = x.AB\); \(DN = x.DA \Rightarrow AN = \left( {1 - x} \right)DA\).

Ta có \({S_{AMHN}} = AN.NH = x\left( {1 - x} \right).AB.DA = x\left( {1 - x} \right){S_{ABCD}} = 25x\left( {1 - x} \right)\).

Số tiền người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(80.25x\left( {1 - x} \right)\) (nghìn đồng).

Để số tiền lớn nhất thì \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Nhận thấy \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right) = x - {x^2} = \frac{1}{4} - {\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^2} \le \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0;1} \right)\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(500\) (nghìn đồng).

Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 3 nghìn đồng, tức là \(0,3\) vạn đồng.

Suy ra chi phí phát hành cho \(x\) cuốn là \(0,3x\).

Theo đề bài, ta có tổng chi phí xuất bản và phát hành cho \(x\) cuốn tạp chí là:

\(T\left( x \right) = C\left( x \right) + 0,3x = 0,0001{x^2} + 0,2x + 10000\)với \(0 < x \le 30000\).\(\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = M(x) = \frac{{T(x)}}{x} = 0,0001x + 0,2 + \frac{{10000}}{x}\), với \(0 < x \le 30000\).

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0,0001 - \frac{{10000}}{{{x^2}}} = \frac{{0,0001{x^2} - 10000}}{{{x^2}}};\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10000\,\,\left( {{\rm{do }}x > 0} \right).\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty .\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của \(M(x)\) nhỏ nhất khi \(x = 10000\).

Do đó, số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là \(x = 10000\).

Vậy chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản 10000 cuốn là:\(M(10000) = 2,2\).