Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(A(3;1;0)\), \(B(3;6;6)\), \(C(4;6;2)\), \(D(6;2;14)\); vị trí \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = 3\), \(MB = 6\), \(MC = 5\), \(MD = 13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu?

Vì \(\Delta DHN\) đồng dạng với \(\Delta DBA\) nên \(\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{NH}}{{AB}} = x\), với \(0 < x < 1\).

Khi đó \(NH = x.AB\); \(DN = x.DA \Rightarrow AN = \left( {1 - x} \right)DA\).

Ta có \({S_{AMHN}} = AN.NH = x\left( {1 - x} \right).AB.DA = x\left( {1 - x} \right){S_{ABCD}} = 25x\left( {1 - x} \right)\).

Số tiền người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(80.25x\left( {1 - x} \right)\) (nghìn đồng).

Để số tiền lớn nhất thì \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Nhận thấy \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right) = x - {x^2} = \frac{1}{4} - {\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^2} \le \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0;1} \right)\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(500\) (nghìn đồng).

(a) Đúng: Chi phí để A sản xuất 10 tấn sảm phẩm trong một tháng là \(C\left( {10} \right) = 10 + 30.10 = 400\)triệu.

(b) Sai: Số tiền mà \[A\] thu được (gọi là doanh thu) từ việc bán \[x\] tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \[B\] là: \(R\left( x \right) = x.P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) triệu đồng

Thay \(x = 10\) ta được \(R\left( {10} \right) = 449\) triệu đồng

(c) Đúng: Lợi nhuận (triệu đồng) mà \(A\) thu được là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\)

(d) Đúng: Xét hàm số \(P\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) ta có:

\(P'\left( x \right) =  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2  \in \left[ {0;\,100} \right]\)

Ta có \(P\left( 0 \right) =  - 100;\,\,P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2  - 100 \approx 607;\,\,P\left( {100} \right) = 400\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;\,100} \right]} P = P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2  - 100 \approx 667\)

Vậy \(A\) thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán \(50\sqrt 2  \approx 70,7\) tấn sản phẩm cho \(B\) mỗi tháng và lợi nhuận lớn nhất thu được khoảng \(607\)triệu đồng.