Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) với \(m\) là tham số thực. Giả sử \({m_0}\) là giá trị dương của tham số \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 3. Giá trị \({m_0}\) thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?              

Ta có công thức lượng muối \(x\) (pound) trong bể sau \(t\) phút:

\(x(t) = 1,5(10 - t) - 0,0013{(10 - t)^4};\quad 0 \le t \le 10\)

Đặt \(u = 10 - t\). Khi \(t\) chạy từ 0 đến 10 thì \(u\) chạy từ 10 xuống 0.

Khi đó \(x = 1,5u - 0,0013{u^4};\quad 0 \le u \le 10\)

Tính đạo hàm theo \(u\) ta được: \(1,5 - 0,0013 \cdot 4{u^3} = 1,5 - 0,0052{u^3}\)

Xét \(1,5 - 0,0052{u^3} = 0 \Rightarrow {u^3} = \frac{{1,5}}{{0,0052}} \approx 288,46 \Rightarrow u \approx \sqrt[3]{{288,46}} \approx 6,62\)

Lập bảng xét dấu ta được:

Suy ra tại \(u \approx 6,62\):

Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm \(t \approx 3,38\) phút kể từ lúc bắt đầu.

Ta có doanh thu của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(D\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}\).

Chi phí của doanh nghiệp để sản xuất \(x\) máy tính bảng là: \(C\left( x \right) = x.c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000\).

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(L\left( x \right) = D\left( x \right) - C\left( x \right) = 4000x - 10{x^2} - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right)\)\( =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).

Xét hàm \(L\left( x \right) =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\left( {1 \le x \le 200;x \in \mathbb{N}} \right)\).

Có \(y' =  - 3{x^2} + 120x + 3600\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\\x =  - 20\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh nghiệp đó sẽ bán \(60\) máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.