Một bồn hình trụ cao \(h\) chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu \(x\) so với mặt nước là \(V = \sqrt {2gx} \). Người ta cho rằng tầm xa \(R\) (feet) của tia nước được cho bởi \(R = 2\sqrt {x(h - x)} \)Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = K.h,\,(K \in \mathbb{R})\) so với mặt bồn thì tầm xa \(R\) đạt cực đại. Tìm \(K\)?

Cho một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng \(2\,\,{\rm{km}}\), đường kính \(PR\)như hình vẽ sau :

Từ điểm \(P\)anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc \(3\,\,{\rm{km/h}}\) đến điểm \(Q\) trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí \(R\) với vận tốc \(6\,\,{\rm{km/h}}\). Thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là bao nhiêu? (thời gian tính bằng phút).

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với \(AB = 6\) (dm), \(AD = 8\) (dm) và cạnh bên bằng \(10\) (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b.\) Khi đó tổng \(D = 3a + 6b\) bao nhiêu ?

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\).

Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

              a) Khoảng \(1\) giờ \(20\) phút là khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\).

              b) \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\)là độ dài quãng đường \(CD\).

              c) Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3} + \frac{{8 - x}}{8}\).

              d) Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD\) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3}\).

Cho hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\).

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = 1 + \frac{4}{{{x^2}}}\).

b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng \(\left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0;\,2} \right)\) và nhận giá trị dương trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\).

c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

d) Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

a) \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^ \circ }\)                                    

b) Tam giác\[SBD\] vuông cân tại S.

c) Tứ giác\(ABCD\) là hình vuông.              

d) \(\overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {BD}  =  - {a^2}.\)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm \({y^/} = {f^/}(x) = x{(x - 2)^3},\forall x \in R\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

              a) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;\,1)\).

              b) \(f(2024) > f(2025)\).

              c) Hàm số \(y = f(x)\) có 2 điểm cực trị.

              d) Giá trị nhỏ nhất trên khoảng \[(0; + \infty )\] là \[f(2)\].