Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với \(AB = 6\) (dm), \(AD = 8\) (dm) và cạnh bên bằng \(10\) (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b.\) Khi đó tổng \(D = 3a + 6b\) bao nhiêu ?
Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với \(AB = 6\) (dm), \(AD = 8\) (dm) và cạnh bên bằng \(10\) (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b.\) Khi đó tổng \(D = 3a + 6b\) bao nhiêu ?
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Dựng hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ
Khi đó tọa độ các điểm là \(B\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {8;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {8;\,6;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,6;\,0} \right)\), \(G\left( {8;\,0;\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,0;\,10} \right)\).
Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AF\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,3;\,5} \right)\).
Con cá bơi từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy hồ tại điểm \(I\left( {x;\,y;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) với \(0 \le x \le 8\), \(0 \le y \le 6\).
Gọi \(N\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).
Quãng đường di chuyển của con cá là \(G - I - M\)
Ta có: \(IM + IG = IN + IG \ge GN\)\( = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {298} \).
Để \(IM + IG\) nhỏ nhất thì ba điểm \(I\), \(G\), \(N\) thẳng hàng
Suy ra \(\overrightarrow {IG} \), \(\overrightarrow {NG} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {IG} = \left( {8 - x;\, - y;\,10} \right)\).
\(\overrightarrow {NG} = \left( {8;\, - 3;\,15} \right)\).
Do đó \(\frac{{8 - x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 3}} = \frac{{10}}{{15}}\).
Suy ra \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\,2;\,0} \right)\).
Khi đó, \(a = d\left( {I,BA} \right) = \frac{8}{3}\), \(b = d\left( {I,BC} \right) = 2\).
Vậy \(D = 3a + 6b = 3 \cdot \frac{8}{3} + 6 \cdot 2 = 20\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(\widehat {QPR} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(\Delta PQR\) vuông tại \(Q\) \( \Rightarrow PQ = PR.\cos \varphi = 4\cos \varphi \).
Mà \(\widehat {QOR} = 2\widehat {QPR} = 2\varphi \).
Độ dài cung tròn \(QR = 2.2\varphi = 4\varphi \).
Thời gian anh Tài chèo từ \(P\) đến \(Q\) là: \(\frac{{4\cos \varphi }}{3}\) (giờ).
Thời gian anh Tài chèo từ \(Q\) đến \(R\) là: \(\frac{{4\varphi }}{6} = \frac{{2\varphi }}{3}\) (giờ).
Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là: \(t = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\,\,\left( {0 < \varphi < \frac{\pi }{2}} \right)\).
Xét hàm số \(t\left( \varphi \right) = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\) với \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4\sin \varphi + 2} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = 0,\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin \varphi = \frac{1}{2},\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\).
Bảng biến thiên
Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\)là \(t\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,5\)(giờ) hay 90 phút.
Lời giải
Thay vì trực tiếp tối đa \(R(x)\), ta có thể tối đa \({R^2}(x)\) (vì hàm căn là tăng):
\({R^2}(x) = 4x(h - x) = 4\left( {hx - {x^2}} \right)\)
Tính đạo hàm: \[{\left( {{R^2}(x)} \right)^\prime } = 4(h - 2x)\]
Giải \({\left( {{R^2}} \right)^\prime } = 0\): \(h - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{h}{2}.\)
Lập bảng biến thiên ta có \(x = \frac{h}{2}\) là điểm cực đại.
Vậy lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = \frac{h}{2}\) để tầm xa \(R\) của tia nước đạt tối đa.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo