Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán \(x\) chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là \(P(x) = - 0,3{x^3} + 36{x^2} + 1800x - 48000.\) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được khi sản xuất đúng bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.

Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\). Do \(MN < IJ = \sqrt 2  \Rightarrow x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(OK = \frac{x}{2};OA = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2  \Rightarrow SK = AK = \sqrt 2  - \frac{x}{2}\).

Do vậy: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \frac{x}{2}} \right)}^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  = \sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Khi đó thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Xét \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} ,\,\left( {x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)} \right)\), ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {2x\sqrt {2 - \sqrt 2 x}  - {x^2}\frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{4x\left( {2 - \sqrt 2 x} \right) - \sqrt 2 {x^2}}}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \frac{{8x - 5\sqrt 2 {x^2}}}{{3\left( {2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} } \right)}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - 5\sqrt 2 {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{4\sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Sau \(t\) phút, trong bể chứa \(\left( {50t + 150} \right)\)lít nước và \(20t\)gam chất khử trùng.

Suy ra nồng độ chất khử trùng trong bể sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}\)gam/lít.

Khảo sát sự biến thiên hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}\), \(t \ge 0\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{3000}}{{{{\left( {50t + 150} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20t}}{{50t + 150}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20}}{{50 + \frac{{150}}{t}}} = \frac{2}{5} = 0,4\)

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy giá trị \(f\left( t \right)\) tăng theo \(t\) nhưng không vượt ngưỡng \(0,4\)gam/lít.

Vậy \(p = 0,4\).