Từ tấm bìa hình vuông có cạnh bằng 6 người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật bằng bao nhiêu ?

Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\). Do \(MN < IJ = \sqrt 2  \Rightarrow x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(OK = \frac{x}{2};OA = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2  \Rightarrow SK = AK = \sqrt 2  - \frac{x}{2}\).

Do vậy: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \frac{x}{2}} \right)}^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  = \sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Khi đó thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Xét \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} ,\,\left( {x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)} \right)\), ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {2x\sqrt {2 - \sqrt 2 x}  - {x^2}\frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{4x\left( {2 - \sqrt 2 x} \right) - \sqrt 2 {x^2}}}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \frac{{8x - 5\sqrt 2 {x^2}}}{{3\left( {2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} } \right)}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - 5\sqrt 2 {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{4\sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Sau \(t\) phút, trong bể chứa \(\left( {50t + 150} \right)\)lít nước và \(20t\)gam chất khử trùng.

Suy ra nồng độ chất khử trùng trong bể sau \(t\) phút là \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}\)gam/lít.

Khảo sát sự biến thiên hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}\), \(t \ge 0\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{3000}}{{{{\left( {50t + 150} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20t}}{{50t + 150}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20}}{{50 + \frac{{150}}{t}}} = \frac{2}{5} = 0,4\)

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy giá trị \(f\left( t \right)\) tăng theo \(t\) nhưng không vượt ngưỡng \(0,4\)gam/lít.

Vậy \(p = 0,4\).