Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - \left( {m - 6} \right)x + 1\)(tham số \[m\]). Khi đó:

a) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) thì \(m \le 2\)

b) Với \(m = 6\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)

c) Với \(m = 0\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

d) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số\(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) là \(\left( { - \infty ;a} \right]\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {x + 2024} \right) = 2027\)

Gọi \(x\)(phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến \(M\) và \(N\) là hai điểm sáng đầu tiên

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BM = 4x\\AN = 10x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AM = 4 - 4x\)với \(0 \le x \le 4\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow \cos \widehat {MAN} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\)

Xét tam giác \(AMN\) ta có : \(M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} - 2AM.AN.\cos \widehat {MAN}\)

\(M{N^2} = {\left( {4 - 4x} \right)^2} + {\left( {10x} \right)^2} - 2.\left( {4 - 4x} \right).10x.\frac{4}{5}\)\( = 180{x^2} - 96x + 16 = f\left( x \right)\)

Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N^2}_{\min }\)

Xét \(f\left( x \right) = 180{x^2} - 96x + 16\) với \(x \in \left[ {0;4} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 360x - 96 = 0 \Leftrightarrow \)\(x = \frac{4}{{15}}\)\( \Rightarrow M{N^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow x = \frac{4}{{15}}\) (phút) \( = 16\) (giây)

Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầu tiên của chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất.

Ta có

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;1} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;0;4} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  \ne k\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3k;0;4k} \right)\) với mọi \(k\)nên hai véctơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)không cùng phương, dó đó ba điểm \(A,\,B,\,C\)không thẳng hàng.

(b) Đúng.

Ta có

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;1} \right),\,\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AB} \], dó đó ba điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.

(c) Sai.

Ta có

\[\overrightarrow {BA}  = \left( { - 1;0; - 1} \right),\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;0;3} \right) \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx 82^\circ \]

(d) Đúng.

Ta có

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;1} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;0;4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.4 + 0.1;1.\left( { - 3} \right) - 1.4;1.0 + 0.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 7;0} \right)\]