Người ta treo một bóng đèn có khối lượng \(m = 1{\rm{\;kg}}\) bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây được gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc bằng \({60^ \circ }\). Tính lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu? Lấy \(g = 10{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi \(x\)(phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến \(M\) và \(N\) là hai điểm sáng đầu tiên

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BM = 4x\\AN = 10x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AM = 4 - 4x\)với \(0 \le x \le 4\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow \cos \widehat {MAN} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\)

Xét tam giác \(AMN\) ta có : \(M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} - 2AM.AN.\cos \widehat {MAN}\)

\(M{N^2} = {\left( {4 - 4x} \right)^2} + {\left( {10x} \right)^2} - 2.\left( {4 - 4x} \right).10x.\frac{4}{5}\)\( = 180{x^2} - 96x + 16 = f\left( x \right)\)

Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N^2}_{\min }\)

Xét \(f\left( x \right) = 180{x^2} - 96x + 16\) với \(x \in \left[ {0;4} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 360x - 96 = 0 \Leftrightarrow \)\(x = \frac{4}{{15}}\)\( \Rightarrow M{N^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow x = \frac{4}{{15}}\) (phút) \( = 16\) (giây)

Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầu tiên của chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất.

Hàm chi phí trung bình

\[\bar C = \bar C(Q) = \frac{C}{Q} = \frac{{\frac{{{Q^2}}}{4} + 3Q + 400}}{Q} = \frac{Q}{4} + 3 + \frac{{400}}{Q}(\]với \[Q > 0){\rm{. }}\]

Ta có \({\bar C^\prime }(Q) = \frac{1}{4} - \frac{{400}}{{{Q^2}}} = \frac{{{Q^2} - 1600}}{{4{Q^2}}} = 0 \Leftrightarrow Q = 40\)

Vì \({\bar C^{\prime \prime }}(Q) = \frac{{800}}{{{Q^2}}} > 0\), nên hàm số \(\bar C\) đạt cực tiểu tại \(Q = 40\).

Chi phí trung bình tối thiểu là \(\bar C(40) = \frac{{40}}{4} + 3 + \frac{{400}}{{40}} = 23\)