Khảo sát số lượng học sinh lớp 10A1 về 3 môn thể thao bóng đá, bóng bàn và bóng rổ giáo viên thu được kết quả như sau: Có 15 học sinh biết chơi ít nhất 2 môn bóng đá và bóng bàn; có 20 học sinh biết chơi ít nhất 2 môn bóng bàn và bóng rổ, có 10 học sinh biết chơi ít nhất 2 môn bóng rổ và bóng đá, có 5 học sinh biết chơi cả 3 môn thể thao trên. Hỏi trong lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh biết chơi đúng 2 trong 3 môn thể thao bóng đá, bóng bàn và bóng rổ?

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây \(\left( {x \ge 0,\,y \ge 0} \right)\).

Theo bài ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\10x + 30y \le 150\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\x + 3y \le 15\end{array} \right.\)

Số tiền người nông dân thu được là: \(F(x,y) = 4x + 6y\) (triệu).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x,y) = 4x + 6y\) với \(x,y\) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\),\(A(0;5)\),\(B(7,5;\,2,5)\),\(C(10,0)\),.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác này:

\(F(0,0) = 0\),\(F(0;5) = 30\),\(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\),\(F(10;0) = 40\).

Bước 3. So sánh các giá trị thu được của \(F\) ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: \(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\).

Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là \(45\) triệu.

Gọi \(x\) là số sản phẩm loại \(A\) mà Linh làm.

Gọi \(y\) là số sản phẩm loại \(B\) mà Linh làm. (điều kiện \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).)

Linh chỉ làm tối đa \(9\) sản phẩm suy ra \(x + y \le 9\).

Tổng thời gian làm sản phẩm không vượt quá \(8\) giờ \( = 480\) phút.

Suy ra \(40x + 60y \le 480 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24\).

Lợi nhuận thu được (đơn vị: nghìn đồng) là \(P = 15x + 20y\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 9}\\{2x + 3y \le 24}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Biểu diễn các bất phương trình trên hệ trục tọa độ ta được miền nghiệm là miền trong của tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.

Tại \(O(0;0)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot  = 0\).

Tại \(A(9;0)\): \(P = 15 \cdot 9 + 20 \cdot 0 = 135\).

Tại \(B(3;6)\): \(P = 15 \cdot 3 + 20 \cdot 6 = 165\).

Tại \(C(0;8)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot 8 = 160\).

Số tiền lớn nhất Linh thu được là \(165\) nghìn đồng, khi làm \(3\) sản phẩm loại \(A\) và \(6\) sản phẩm loại \(B\).