Một hộ nông dân dự định trồng nha đam và măng tây trên diện tích \(10\) ha. Nếu trồng nha đam thì cần \(10\) công và thu được \(4\) triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Nếu trồng măng tây thì cần \(30\) công và thu được \(6\)triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi số tiền người nông dân thu được nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không vượt quá \(150\) công.

Gọi \(x\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng đá và bóng bàn, \(y\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng bàn và bóng rổ, \(z\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng rổ và bóng đá.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {A \cap B} \right)\\y + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {B \cap C} \right)\\z + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {A \cap C} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 15\\y + 5 = 20\\z + 5 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 15\\z = 5\end{array} \right.\).

Số học sinh chỉ biết chơi đúng 2 môn thể thao trong 3 môn thao bóng đá, bóng bàn và bóng rổ là 30 em.

Gọi \(x\) là số sản phẩm loại \(A\) mà Linh làm.

Gọi \(y\) là số sản phẩm loại \(B\) mà Linh làm. (điều kiện \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).)

Linh chỉ làm tối đa \(9\) sản phẩm suy ra \(x + y \le 9\).

Tổng thời gian làm sản phẩm không vượt quá \(8\) giờ \( = 480\) phút.

Suy ra \(40x + 60y \le 480 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24\).

Lợi nhuận thu được (đơn vị: nghìn đồng) là \(P = 15x + 20y\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 9}\\{2x + 3y \le 24}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Biểu diễn các bất phương trình trên hệ trục tọa độ ta được miền nghiệm là miền trong của tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.

Tại \(O(0;0)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot  = 0\).

Tại \(A(9;0)\): \(P = 15 \cdot 9 + 20 \cdot 0 = 135\).

Tại \(B(3;6)\): \(P = 15 \cdot 3 + 20 \cdot 6 = 165\).

Tại \(C(0;8)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot 8 = 160\).

Số tiền lớn nhất Linh thu được là \(165\) nghìn đồng, khi làm \(3\) sản phẩm loại \(A\) và \(6\) sản phẩm loại \(B\).