Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y >  - 2\end{array} \right.\] không chứa điểm nào sau đây?

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây \(\left( {x \ge 0,\,y \ge 0} \right)\).

Theo bài ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\10x + 30y \le 150\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\x + 3y \le 15\end{array} \right.\)

Số tiền người nông dân thu được là: \(F(x,y) = 4x + 6y\) (triệu).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x,y) = 4x + 6y\) với \(x,y\) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\),\(A(0;5)\),\(B(7,5;\,2,5)\),\(C(10,0)\),.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác này:

\(F(0,0) = 0\),\(F(0;5) = 30\),\(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\),\(F(10;0) = 40\).

Bước 3. So sánh các giá trị thu được của \(F\) ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: \(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\).

Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là \(45\) triệu.

Gọi \(x\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng đá và bóng bàn, \(y\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng bàn và bóng rổ, \(z\) là số học sinh chỉ biết chơi 2 môn thể thao bóng rổ và bóng đá.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {A \cap B} \right)\\y + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {B \cap C} \right)\\z + n\left( {A \cap B \cap C} \right) = n\left( {A \cap C} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 15\\y + 5 = 20\\z + 5 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 15\\z = 5\end{array} \right.\).

Số học sinh chỉ biết chơi đúng 2 môn thể thao trong 3 môn thao bóng đá, bóng bàn và bóng rổ là 30 em.