Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (Hình bên), phần còn lại có dạng hình tứ giác \(ABCD\)với độ dài các cạnh là \(AB = 15\;m,BC = 19\;m,CD = 10\;m\), \(DA = 20\;m\). Diện tích mảnh đất \(ABCD\) bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây \(\left( {x \ge 0,\,y \ge 0} \right)\).

Theo bài ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\10x + 30y \le 150\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\x + 3y \le 15\end{array} \right.\)

Số tiền người nông dân thu được là: \(F(x,y) = 4x + 6y\) (triệu).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x,y) = 4x + 6y\) với \(x,y\) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\),\(A(0;5)\),\(B(7,5;\,2,5)\),\(C(10,0)\),.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác này:

\(F(0,0) = 0\),\(F(0;5) = 30\),\(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\),\(F(10;0) = 40\).

Bước 3. So sánh các giá trị thu được của \(F\) ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: \(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\).

Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là \(45\) triệu.

Gọi \(x\) là số sản phẩm loại \(A\) mà Linh làm.

Gọi \(y\) là số sản phẩm loại \(B\) mà Linh làm. (điều kiện \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).)

Linh chỉ làm tối đa \(9\) sản phẩm suy ra \(x + y \le 9\).

Tổng thời gian làm sản phẩm không vượt quá \(8\) giờ \( = 480\) phút.

Suy ra \(40x + 60y \le 480 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24\).

Lợi nhuận thu được (đơn vị: nghìn đồng) là \(P = 15x + 20y\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 9}\\{2x + 3y \le 24}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Biểu diễn các bất phương trình trên hệ trục tọa độ ta được miền nghiệm là miền trong của tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.

Tại \(O(0;0)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot  = 0\).

Tại \(A(9;0)\): \(P = 15 \cdot 9 + 20 \cdot 0 = 135\).

Tại \(B(3;6)\): \(P = 15 \cdot 3 + 20 \cdot 6 = 165\).

Tại \(C(0;8)\): \(P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot 8 = 160\).

Số tiền lớn nhất Linh thu được là \(165\) nghìn đồng, khi làm \(3\) sản phẩm loại \(A\) và \(6\) sản phẩm loại \(B\).