Bạn Linh đự định làm tối đa \(9\) sản phẩm trang trí để bày bán tại gian hàng hội chợ của trường. Nếu làm một sản phẩm loại \(A\) thì cần \(40\) phút và thu được \(15\) nghìn đồng. Nếu làm một sản phẩm loại \(B\) thì cần \(60\) phút và thu được \(20\) nghìn đồng. Hãy tính số tiền nhiều nhất mà Linh có thế thu được (đơn vị nghìn đồng)? Biết bạn Linh chỉ có tối đa \(8\) giờ cho việc làm các sản phẩm trang trí

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây \(\left( {x \ge 0,\,y \ge 0} \right)\).

Theo bài ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\10x + 30y \le 150\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\x + 3y \le 15\end{array} \right.\)

Số tiền người nông dân thu được là: \(F(x,y) = 4x + 6y\) (triệu).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x,y) = 4x + 6y\) với \(x,y\) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\),\(A(0;5)\),\(B(7,5;\,2,5)\),\(C(10,0)\),.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác này:

\(F(0,0) = 0\),\(F(0;5) = 30\),\(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\),\(F(10;0) = 40\).

Bước 3. So sánh các giá trị thu được của \(F\) ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: \(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\).

Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là \(45\) triệu.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):x - 2y = 0\)

\(\left( {{d_2}} \right):x + 3y =  - 2\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.