Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

              a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = 3{x^2} - 6x\).

              b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)\).

              c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

              d) Đồ thị của hàm số đã cho như ở hình sau:   

Gọi \[p\](triệu đồng) là giá của một máy điều hòa và \(x\) là số máy điều hòa bán ra trong tháng.

Ta có hàm cầu \[p = ax + b\] đi qua các điểm \(\left( {700;15} \right)\) và \(\left( {800;14} \right)\)

Suy ra \[p =  - \frac{1}{{100}}x + 22\]

Ta có hàm doanh thu trong tháng là: \[R\left( x \right) = px =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 22x\]

Suy ra hàm lợi nhuận của cửa hàng trong tháng là: \[\begin{array}{l}L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 22x - \left( {14000 - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow L\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 25x - 14000\end{array}\]

Ta có \[L\left( x \right)\] đạt GTLN bằng 1625 (triệu đồng) khi \(x = 1250\)

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán để lợi nhuận lớn nhất là: \[p =  - \frac{1}{{100}}.1250 + 22 = 9,5\] (triệu đồng)

Doanh thu khi nhà máy \(A\) bán hết \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là: \(x.P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\).

Lợi nhuận thu được là: \(L\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right)\)\( =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\).

Ta có: \(L'\left( x \right) =  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 70,7\,\,\,}\\{x \approx  - 70,7}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(L\left( {70} \right) = 607\), \(L\left( {71} \right) = 607,089 > L\left( {70} \right)\)

Như vậy, nhà máy \(A\) cần bán \(71\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.