Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng \(a.\pi \left( {c{m^3}} \right),a \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị lớn nhất của \(a\) là bao nhiêu?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho điểm xuất phát là gốc \(O\) như hình vẽ trên.

Khi đó tọa độ hai kinh khí cầu là \(A\left( {3;4;1} \right),B\left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{4}{5}} \right)\)

Gọi \(M\)là vị trí người quan sát và \(B'\left( { - 1; - \frac{3}{2}; - \frac{4}{5}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \((Oxy)\).

Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB' = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {4 + \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 + \frac{4}{5}} \right)}^2}}  \approx 7,03\,km\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(M,A,B'\) thẳng hàng và \(M\) thuộc đoạn \(AB'\). Điều này luôn xảy ra.

(a) Đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) là là đường thẳng \(x = 2\).

(b) Đúng.

Ta có \(y = f(x) = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x + 1\).

(c) Sai.

Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;2} \right)\) vào phương trình hàm số \(y = f(x)\) ta được:

\(2 = \frac{{{0^2} - 0 + 2}}{{0 - 2}} \Leftrightarrow 2 =  - 1:Sai \Rightarrow M\left( {0;2} \right) \notin \left( C \right)\)

(d) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = m\) là:

\(\begin{array}{l}{\rm{     }}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = m{\rm{   }}\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + 2m + 2 = 0{\rm{     }}(1)\end{array}\)

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} = {m^2} - 6m + 7 > 0\\{2^2} - (m + 1).2 + 2m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 7\end{array} \right.\).