Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng \(a.\pi \left( {c{m^3}} \right),a \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị lớn nhất của \(a\) là bao nhiêu?

Giả sử cần giảm giá bán mỗi cái tivi là \(x\) triệu đồng \(\left( {x < 14} \right)\).

Do giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng nên số lượng tivi bán ra tăng lên bây giờ là: \(\frac{{10x}}{{0,5}} = 20x\).

Khi đó, doanh thu một tháng của cửa hàng là \(\left( {100 + 20x} \right).\left( {14 - x} \right) =  - 20{x^2} + 180x + 1400\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 20{x^2} + 180x + 1400\,\,\left( {x < 14} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 40x + 180\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4,5\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy: Để doanh thu cửa hàng đạt cao nhất thì giá bán mỗi cái tivi là \(14 - 4,5 = 9,5\) triệu đồng

(a) Đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) là là đường thẳng \(x = 2\).

(b) Đúng.

Ta có \(y = f(x) = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x + 1\).

(c) Sai.

Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;2} \right)\) vào phương trình hàm số \(y = f(x)\) ta được:

\(2 = \frac{{{0^2} - 0 + 2}}{{0 - 2}} \Leftrightarrow 2 =  - 1:Sai \Rightarrow M\left( {0;2} \right) \notin \left( C \right)\)

(d) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = m\) là:

\(\begin{array}{l}{\rm{     }}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = m{\rm{   }}\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + 2m + 2 = 0{\rm{     }}(1)\end{array}\)

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} = {m^2} - 6m + 7 > 0\\{2^2} - (m + 1).2 + 2m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 7\end{array} \right.\).