Hai chiếc kinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, kinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát \(4\,km\) về phía Đông và \(3\,km\) về phía Nam, đồng thời cách mặt đất \(1\,km\); kinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát \(1\,km\) về phía Bắc và \(1\,,5\,km\) về phía Tây, đồng thời cách mặt đất \(0,8\,km\)(hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai kinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai kinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giả sử cần giảm giá bán mỗi cái tivi là \(x\) triệu đồng \(\left( {x < 14} \right)\).

Do giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng nên số lượng tivi bán ra tăng lên bây giờ là: \(\frac{{10x}}{{0,5}} = 20x\).

Khi đó, doanh thu một tháng của cửa hàng là \(\left( {100 + 20x} \right).\left( {14 - x} \right) =  - 20{x^2} + 180x + 1400\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 20{x^2} + 180x + 1400\,\,\left( {x < 14} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 40x + 180\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4,5\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy: Để doanh thu cửa hàng đạt cao nhất thì giá bán mỗi cái tivi là \(14 - 4,5 = 9,5\) triệu đồng

Gọi \(x(\;cm);y(\;cm)\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \((x,y > 0;x < 30)\).

Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm.

Ta có: \((2x + y) \cdot 4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 - 2x > 0 \Rightarrow 0 < x < 15\).

Thể tích khối hộp quà là: \(V = \pi {x^2} \cdot y = \pi {x^2}(30 - 2x)\). Thể tích \(V\) lớn nhất khi hàm số \(f(x) = {x^2}(30 - 2x)\), \((0 < x < 15)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \({f^\prime }(x) =  - 6{x^2} + 60x\);

Cho \({f^\prime }(x) =  - 6{x^2} + 60x = 0 \Rightarrow x = 10\).

Lập bảng biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: \(V = \pi  \cdot f(10) = 1000\pi \left( {\;c{m^3}} \right)\)