Hai chiếc kinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, kinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát \(4\,km\) về phía Đông và \(3\,km\) về phía Nam, đồng thời cách mặt đất \(1\,km\); kinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát \(1\,km\) về phía Bắc và \(1\,,5\,km\) về phía Tây, đồng thời cách mặt đất \(0,8\,km\)(hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai kinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai kinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi \(x(\;cm);y(\;cm)\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \((x,y > 0;x < 30)\).

Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm.

Ta có: \((2x + y) \cdot 4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 - 2x > 0 \Rightarrow 0 < x < 15\).

Thể tích khối hộp quà là: \(V = \pi {x^2} \cdot y = \pi {x^2}(30 - 2x)\). Thể tích \(V\) lớn nhất khi hàm số \(f(x) = {x^2}(30 - 2x)\), \((0 < x < 15)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \({f^\prime }(x) =  - 6{x^2} + 60x\);

Cho \({f^\prime }(x) =  - 6{x^2} + 60x = 0 \Rightarrow x = 10\).

Lập bảng biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: \(V = \pi  \cdot f(10) = 1000\pi \left( {\;c{m^3}} \right)\)

(a) Đúng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) là là đường thẳng \(x = 2\).

(b) Đúng.

Ta có \(y = f(x) = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x + 1\).

(c) Sai.

Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;2} \right)\) vào phương trình hàm số \(y = f(x)\) ta được:

\(2 = \frac{{{0^2} - 0 + 2}}{{0 - 2}} \Leftrightarrow 2 =  - 1:Sai \Rightarrow M\left( {0;2} \right) \notin \left( C \right)\)

(d) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = m\) là:

\(\begin{array}{l}{\rm{     }}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = m{\rm{   }}\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + 2m + 2 = 0{\rm{     }}(1)\end{array}\)

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} = {m^2} - 6m + 7 > 0\\{2^2} - (m + 1).2 + 2m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 7\end{array} \right.\).