Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(C\left( { - 10;17; - 7} \right)\).

              a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 10\).

              b) Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABD\) là \(H\left( { - 5;12;4} \right)\).

              c) Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( { - 6;9; - 1} \right)\).

              d) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 4;5;2} \right)\).

(a) Đúng.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right)}}{2} =  - 4\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;5;2} \right)\].

(b) Đúng.

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right) + \left( { - 10} \right)}}{3} =  - 6\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{4 + 6 + 17}}{3} = 9\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{2 + 2 + \left( { - 7} \right)}}{3} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 6;9; - 1} \right)\].

(c) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;0} \right),\,\overrightarrow {DC}  = \left( { - 10 - {x_D};17 - {y_D}; - 7 - {z_D}} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 - {x_D} =  - 2\\17 - {y_D} = 2\\ - 7 - {z_D} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 8\\{y_D} = 15\\{z_D} =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 8;15; - 7} \right)\).

\(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 5;11; - 9} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  =  - 2.\left( { - 5} \right) + 2.11 + 0.\left( { - 0} \right) = 32\).

(d) Sai.

Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trực tâm của tam giác \(ABD\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BD} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {AD} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.\)

\(\overrightarrow {AH}  = \left( {a + 3;b - 4;c - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 5;b - 6;c - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 3;9; - 9} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 5;11; - 9} \right)\),

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 18; - 18; - 12} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {a + 3} \right) + 9\left( {b - 4} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\ - 5\left( {a + 5} \right) + 11\left( {b - 6} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\ - 18\left( {a + 3} \right) - 18\left( {b - 4} \right) - 12\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b - 9c = 27\\ - 5a + 11b - 9c = 73\\ - 18a - 18b - 12c =  - 42\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 153}}{{11}}\\b = \frac{{100}}{{11}}\\c = \frac{{118}}{{11}}\end{array} \right.\].

Vậy \(H\left( {\frac{{ - 153}}{{11}};\frac{{100}}{{11}};\frac{{118}}{{11}}} \right)\).