Trong hệ trục Oxyz, cho 3 điểm \(A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

              a) Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

              b) Độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) hạ từ \(A\) bằng \(AH = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\)

              c) Gọi \(D(x;y;z)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành khi đó \(x + y + z = 3\)

              d) Thể tích của khối chóp \(SABCD\) với đỉnh \(S(0;3;4)\) bằng \(2\)

 Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;0;1),\overrightarrow {AC}  = (1;1;1)\)

Tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 1;2; - 1) \ne \vec 0\)

Do đó: 2 véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Vậy \(A,B,C\) là 3 đỉnh của một tam giác

Diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}|[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]| = \frac{1}{2}\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

 \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). Gọi \(D(x;y;z)\) ta có: \(\overrightarrow {AD} (x - 1;y;z);\overrightarrow {BC}  = (2;1;0)\)

Vậy \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 2}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp số: \(D(3;1;0)\)

 Diện tích \(\Delta ABC = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 }}{{BC}}\). Ta có \(BC = \sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\)

 Thể tích của khối chóp \(SABCD = V\)

Ta có \(V = 2\;{V_{SABC}} = \frac{1}{3}\left| {[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] \cdot \overrightarrow {AS} } \right|\)

Tính \(\overrightarrow {AS}  = ( - 1;3;4)\) do kết quả câu 1

Nên \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\overrightarrow {AS}  = 1 + 6 - 4 = 3 > 0\)

Do đó \(V = 1\)