Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = \frac{{n + a}}{n}\), \(a\) là số thực. Tìm một giá trị của \(a\) để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + a}}{{n + 1}} - \frac{{n + a}}{n} = \frac{{ - a}}{{n\left( {n + 1} \right)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Nếu \(a > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Nếu \(a < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Nếu \(a = 0\) thì \({u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy số giảm cũng không là dãy số tăng.

Vậy để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng ta chọn một số \(a\) sao cho \(a < 0\).