(1 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc đèn tích điện mới, chị Nga thống kê thời gian sử dụng đèn của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:

Thời gian sử dụng (giờ)	\(\left[ {7;\,9} \right)\)	\(\left[ {9;\,11} \right)\)	\(\left[ {11;13} \right)\)	\(\left[ {13;15} \right)\)	\(\left[ {15;17} \right)\)
Số lần	2	5	7	6	3

a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin.

b) Chị Nga cho rằng có khoảng 25% số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không?

Đáp án đúng là: B

Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,000,\,\,d = 5\,000.\) Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là:

\({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50.49}}{2}d = 10\,.125\,.000\).

Lời giải:

a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\]

\[ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 2x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = k\frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\]

Điều kiện \[\sin x \ne 0\] và \[\cos x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình được biến đổi \[\sin x + \cos x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = \frac{{10}}{3}\].

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\], \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]. Thì \[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\].

Và phương trình trở thành: \[3{t^3} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}\\t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện, chọn \[t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha \]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \] hoặc \[x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] hoặc $x=\frac{3\pi }{4}-\alpha +k2\pi$ \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình: \[x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \[x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].