Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng \(480\) nghìn đồng trên \(1\) giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi \(v = 10\) (km/giờ) thì phần thứ hai bằng \(30\) nghìn đồng/giờ.

a) Khi vận tốc \(v = 10\)(km/giờ) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên \(1\) km đường sông là 48000 đồng.

b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\) km đường sông với vận tốc \(x\) (km/h) là\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^3}\) (nghìn đồng).

c) Khi vận tốc \(v = 30\) (km/giờ) thì tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\) km đường sông là 43000 đồng.

d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\) km đường sông nhỏ nhất là \(v = 20\)(km/giờ).

a) Đúng. Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\) km là: \(\frac{1}{{10}}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000\) (đồng).

b) Sai. Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).

Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\) km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\) (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Khi \(x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03\) nên \(p = 0,03{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần 2 để chạy \(1\) km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,03{x^3} = 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

c) Đúng. Tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

Thay \(x = v = 30\) (km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,03 \cdot {30^2} = 43\) (nghìn đồng).

d) Đúng. \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0,03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.\)

Dấu  “=” xảy ra khi \(x = 20\). Khi đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = 36\) tại \(x = 20\).

Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\) km đường sông nhỏ nhất là \(v = 20\)(km/giờ).