Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.
Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Khi \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng, ta có:
\[2\tan \frac{B}{2} = \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{B}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]}}\]
\( \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left( {\sin \frac{B}{2} + \cos \frac{{A - C}}{2}} \right) = {\cos ^2}\frac{B}{2}\]
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{{A - C}}{2} = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{B + A - C}}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{B - A + C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2} - {\sin ^2}\frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {90^\circ - C} \right) + \sin \left( {90^\circ - A} \right)} \right] = \cos B\)
\( \Leftrightarrow \cos C + \cos A = 2\cos B \Rightarrow \)\(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Vì \(MN,SO\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), nên gọi \(I\) là giao điểm giữa \(MN\) và \(SO\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
b) Vì \(IP,SA\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), nên gọi \(Q\) là giao điểm giữa \(IP\) và \(SA\) thì \(Q\) là giao điểm \(Q\) của \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
c) Vì \(F\) là giao điểm giữa \(QM\) và \(AB\) nên \(F\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (1).
Tương tự, \(G\) là giao điểm giữa \(QP\) và \(AC\) nên \(G\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (2).
\(H\) là giao điểm giữa \(QN\) và \(AD\) nên \(H\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (3).
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right) \Rightarrow F,G,H\) nằm trên giao tuyến giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) hay \(F,G,H\) thẳng hàng. (đpcm)
Câu 2
A. \({u_n} = 3n - 2\).
B. \({u_n} = n + 3\).
C. \({u_n} = {n^2}\).
D. \({u_n} = 2{n^2} - 1\).
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy dãy số là dãy các số chính phương, hay số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {n^2}\).
Câu 3
A. \(B,M,D,N\) tạo thành một tứ diện.
B. \(B,M,D,N\) tạo thành một tứ giác.
C. \(B,M,D,N\) tạo thành một đường thẳng.
D. Không có kết luận gì.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \({S_{20}} = 20\left( {2{u_1} + 19d} \right)\).
B. \({S_{20}} = 20a + 190d\).
C. \({S_{20}} = 2a + 19d\).
D. \({S_{20}} = 20a + 200d\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(1;\,\,0,2;\,\,0,04;\,\,0,008;...\).
B. 2; 22; 222; 2222;….
C. \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;...\).
D. \(1;\,\,5;\,\,6;\,\,12;...\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
B. \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
C. \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
D. \(2\cos a\cos b = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
B. \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a + 1\).
C. \(\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a\).
D. \(\cos 2a = 2{\sin ^2}a - 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập