(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Lấy điểm \(I \in BD\) sao cho \(BI = 2ID\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và song song với \(SA,\,\,CD\), \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{CD}}\).

a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)

Lại có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

b) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\) qua \(I\) và \[d\,{\rm{//}}\,CD\].

Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \(AD,\,\,BC\).

Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}\] qua \(P\) và \({d_1}\,{\rm{//}}\,SA\).

Khi đó \(N\) là giao điểm của \({d_1}\) với \(SD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}\) qua \(N\) và \({d_2}\,{\rm{//}}\,CD\).

Khi đó \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) với \(SC\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) tạo với hình chóp \(S.ABCD\) một thiết diện là hình thang \(MNPQ\)

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\)

Mà \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \[\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\]