Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm \(t\) (giờ) được kí hiệu là \(N\left( t \right)\). Ban đầu (\(t = 0\) giờ), mật độ vi khuẩn đo được là \(N\left( 0 \right) = 10\) triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn \(N'\left( t \right)\) (đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức \(N'\left( t \right) = 18t - 3{t^2}\) (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với \(t\) là thời gian tính bằng giờ \(\left( {0 \le t \le 7} \right)\).

a) \(N'\left( 1 \right) = 15\) triệu tế bào/ml giờ.

b) $\int N\text{'} \left(t\right) dt = 9t^{2 - }{t}^3$

c) So với lúc ban đầu (\(t = 0\)), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml khi đến thời điểm \(t = 6\) giờ.

d) Tại thời điểm \(t = 7\) giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm của \(BD\) và hai trục lần lượt song song với hai cạnh \(AB,AD\).

Ta có tọa độ các điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( {0;2} \right)\); phương trình của đường parabol có dạng \(y = a{x^2} + b\) thay tọa độ các điểm \(B,I\) ta có được \(b = 2\) và \( - 2 = a \cdot {2^2} + 2 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vậy phương trình của đường \[\left( P \right):y = - {x^2} + 2\].

Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}y = -x^2+2\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-2 = 0\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 2\\ y = -2 \end{array}hoặc \left\{\begin{array}{l}x= -1 \\ y = 1\end{array}\right.\right.$

Suy ra \(M\left( { - 1\,;\,1} \right)\) (loại điểm \[\left( {2; - 2} \right)\] do trùng B).

Diện tích hình phẳng \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 2} \right) - \left( { - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}\).

Diện tích hình phẳng \[{S_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + 2} \right){\rm{d}}x - {S_1}} = \frac{{37}}{6}\].

Diện tích phần còn lại là \({S_3} = 16 - {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3}\).

Tổng số tiền bỏ ra để sơn là \(200{S_1} + 180{S_2} + 150{S_3} = 2810\) (nghìn đồng).

Đáp án: 2810.

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Với \[x = - 2 \Rightarrow y = - 6\], với \[x = 1 \Rightarrow y = 0\], với \[x = 3 \Rightarrow y = 4\].

Vậy đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Sai. Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{97}}{{12}}\).

c) Sai. Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{63}}{4}\);

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}\).

d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = {S_1} + {S_2} = \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}\).