Cho \[\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\] và \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \]. Giá trị của \(\sin \alpha \) là

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\]

\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\cos x.\sin x = \frac{1}{4}\]

\[ \Leftrightarrow \cos x.\sin x = - \frac{3}{8}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1): \[\cos x = \frac{1}{2} - \sin x\] thế vào (2), ta được:

\[\left( {\frac{1}{2} - \sin x} \right)\sin x = - \frac{3}{8}\, \Leftrightarrow - {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x + \frac{3}{8} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\,\end{array} \right.\].

Do \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\].