Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2a,AD = 3a,\widehat {BAD} = 60^\circ \), O là giao điểm của hai đường chéo. Điểm \(K\) thuộc \(AD\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AK}  =  - 2\overrightarrow {DK} \). Các phát biểu sau đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

b) \(\overrightarrow {AO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 3{a^2}\).

d) \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = {a^2}\).

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

b) Vì O là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {AO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2a.3a.\cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BK}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Khi đó \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = ( - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) =  - A{B^2} + \frac{2}{3}A{D^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  =  - 4{a^2} + \frac{2}{3}.9{a^2} - \frac{1}{3}.3{a^2} = {a^2}\).