(1,0 điểm) Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AC\). Trên cạnh \(PD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(DP = 2PB\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD).\)

b) Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(Q\) sao \(DQ = 2QA\). Chứng minh: \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\), ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN\)

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) là \(Px\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)\).

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((BCD)\) là \(MP\).

Vậy giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD)\) lần lượt là \(Px\) và \(MP\).

b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB\).

Do đó \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).

Ta có \(Q \in (MNP)\). Do đó:

• \((MNP) \cap (ACD) = QN\)

• \((MNP) \cap (BCD) = PM\)

• \((ACD) \cap (BCD) = CD\)

Vì \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(DC\) cắt \(PM\) tại \(I\).

Do đó ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.