Cho hình vuông \(ABCD\) tâm O, có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB\) (tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AO} \).

b) \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  = {a^2}\).

d) \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AO} \).

b) M là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  = 2\overrightarrow {DM} \).

c) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) =  - {a^2}.\cos 45^\circ  =  - \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].

d) Có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} \)\( = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ  = {a^2}\).

\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{a}{2}.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ  =  - \frac{1}{2}{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).