Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| b \right| = \sqrt 3 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AO} \).

b) M là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  = 2\overrightarrow {DM} \).

c) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) =  - {a^2}.\cos 45^\circ  =  - \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].

d) Có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} \)\( = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ  = {a^2}\).

\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{a}{2}.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ  =  - \frac{1}{2}{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Trả lời: 260

Theo đề bài ta có: hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\20x + 10y \le 100\end{array} \right.\] (I).

Số tiền mà bác Ba thu được sau mà vụ là \[T = 50x + 30y.\]

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \[T = 50x + 30y\] trên miền nghiệm của bất phương trình (I).

Ta có miền nghiệm của bất phương trình (I) là miền tứ giác OABC (phần tô màu) như hình vẽ.

Tứ giác \[OABC\] có  \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;6} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {5;0} \right).\]

Ta có \(T\left( {0;0} \right) = 0,T\left( {0;6} \right) = 180,T\left( {4;2} \right) = 260,T\left( {5;0} \right) = 250\).

Do đó số tiền nhiều nhất mà bác Ba có thể thu được sau mùa vụ này 260 triệu đồng.