Cho các mệnh đề sau:

(I) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.

(II) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

(III) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

(IV) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Đáp án đúng là: A

Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của \(DE\), do đó \(DE = 2DC = 2 \cdot 3 = 6\).

Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} \)

Do \(AB \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DE} \) cùng hướng nên \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DE} } \right) = 0^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {DE} } \right) = DE \cdot AB \cdot \cos 0^\circ = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18\).

Vậy \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 + 18 = 18\).

Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {CH} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)\] \[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

Vì \(H\) là trực tâm của \[\Delta ABC,\] nên \[BH \bot CA{\rm{ }},{\rm{ }}CH \bot BA\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} = 0,{\rm{ }}\overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\].

Do đó, \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

\[ = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {BH} \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {CH} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\]

\( = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {CH} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Vậy \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\].