II. Tự luận (4,0 điểm)

 (1,0 điểm) Giải phương trình:

a) \(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0\);                                          b) \(\cot x\,.\,\cot 2x - 1 = 0\).

a) Phương trình \(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0\) có nghĩa \(\forall x \in \mathbb{R}\) hay \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có \(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{{ - \,\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

b) Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Ta có \(\cot x\,.\,\cot 2x - 1 = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} - 1 = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2\sin x\cos x}} - 1\)

\[ = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2\sin x\cos x}} - 1 = \frac{1}{{2{{\sin }^2}x}} - 2\]

Khi đó \(\cot x\,.\,\cot 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2{{\sin }^2}x}} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \sin \frac{\pi }{6}\\\sin x = \sin \frac{{ - \pi }}{6}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,;\,\,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\].