Trong không gian \[Oxyz\], đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] có phương trình tham số là:

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí \(A\left( {5;\,0;\,0} \right)\) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng kilomet), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch \(B\) đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\end{array} \right.\). Tàu chở hàng \(C\) đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng \({d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - s\\y = 11 + s\\z = 0\end{array} \right.\). Do thời tiết xấu, nên hai tàu \(B\) và \(C\) gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ \(A\) để lần lượt tiếp cận tàu du lịch \(B\) trước, sau đó đến tàu chở hàng \(C\). Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch \(B\) dừng lại và tàu chở hàng \(C\) dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi \(T = AB + BC + CA\) là nhỏ nhất. Khi đó \({T_{\min }} = \sqrt a \,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\), hãy tính \(a + 2026\).

Một máy bay cất cánh tại một sân bay, sau khi bắt đầu cất cánh trong thời gian ngắn máy bay sẽ bay theo một đường thẳng và sân bay nơi máy bay cất cánh được coi là một mặt phẳng. Chọn hệ tọa độ \[Oxyz\], đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 km. Biết rằng, máy bay bắt đầu cất cánh tại điểm \[O\left( {0;0;0} \right)\]và sau một thời gian ngắn máy bay bay đến điểm \[A\left( {2;5;\,1,2} \right)\] và sân bay máy bay cất cánh nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Góc tạo bởi đường bay của máy bay cất cánh và sân bay bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị là độ)?

Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ \(Dxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \(AE,\,BF,\,CG\) và \(DH\); phần mái là tứ giác \[EFGH\] và hình vuông \[ABCD\] nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \[AB = 20\,{\rm{m}}\], \[DH = 4\,{\rm{m}}\], \[AE = BF = 3\,{\rm{m}}\].

a) Tọa độ điểm \(B\left( {20;20;0} \right)\) và \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).

b) Đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

c) Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).

d) Khách hàng đặt một camera ở vị trí \(L\) trên cột \(DH\) và cách mặt đất \(8\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\) thì cách camera \(10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\).

Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định \(A\left( {1;0;2} \right)\) trong không gian ba chiều với hệ tọa độ \(Oxyz\) (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\), cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + z + 1 = 0\). Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng \(\Delta \), C nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 2;a;b} \right)\), hãy tính giá trị \(a + 2b\) (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)và hai điểm \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {2; - 3;4} \right)\).

a) Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{ - 3}}{8}\).

c) Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \(a + b + c = 3\).

d) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) bằng \(\sqrt 2 \). Khi khoảng cách từ \(B\) đến \(\Delta \) đạt giá trị lớn nhất thì \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;1; - 1} \right)\).