Câu hỏi:

06/11/2025 278

Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ \(Dxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \(AE,\,BF,\,CG\) và \(DH\); phần mái là tứ giác \[EFGH\] và hình vuông \[ABCD\] nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \[AB = 20\,{\rm{m}}\], \[DH = 4\,{\rm{m}}\], \[AE = BF = 3\,{\rm{m}}\].

a) Tọa độ điểm \(B\left( {20;20;0} \right)\) và \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).

b) Đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

c) Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).

d) Khách hàng đặt một camera ở vị trí \(L\) trên cột \(DH\) và cách mặt đất \(8\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\) thì cách camera \(10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 1) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đúng. Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \[BC = AB = 20\,{\rm{m}}\], do đó \(B\left( {20;20;0} \right)\).

Vì \[DH = 4\,{\rm{m}}\] nên \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).

b) Sai. Vì \[AD = AB = 20\,{\rm{m}}\] và \[AE = 3\,{\rm{m}}\] nên \(E\left( {20\,;0\,;3} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {HE} = \left( {20\,;0\,; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(EH\).

Khi đó, đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(F\left( {20\,;20\,;3} \right)\) và \(\overrightarrow {EF} = \left( {0\,;20\,;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {HE} } \right] = \left( { - 20;0; - 400} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {EFGH} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k = \left( {0\,;0\,;1} \right)\]. Khi đó:

\[\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) = \frac{{\left| {400} \right|}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = \frac{{400}}{{20\sqrt {401} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) \approx 2,86^\circ \].

Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).

d) Đúng.

Media VietJack

Gọi \(I\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\).

Suy ra \[M.ABCD\] là hình chóp đều nên \[MI \bot \left( {ABCD} \right)\].

Ta có \[DB = 20\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right) \Rightarrow ID = 10\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)\].

Xét tam giác \[MID\]vuông tại \(I\): \(MI = \sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 8\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vì \[MI{\rm{//}}DL,\,MI = DL = 8\,{\rm{m}}\].

Do đó \[DIML\] là hình bình hành nên \[ML = ID = 10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian \[Oxyz\], mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế, mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng \[\left( P \right)\] thẳng đứng, đi qua hai điểm \(C\left( {10;50;0} \right)\) và \(D\left( {30;10;0} \right)\) trên mặt đất (mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)) như hình vẽ. Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\). Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí \(A\left( {30;40;120} \right).\) Từ vị trí \[A\], drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] đến vị trí giao hàng \[B\]. Khoảng cách từ \(O\) đến \(B\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \[\overrightarrow {CD} = \left( {20; - 40;0} \right) = 20\overrightarrow u \] với \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\].

\[\left( P \right)\] là mặt phẳng thẳng đứng qua \[C\] và \[D\] nên nhận vectơ \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\] và \[\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right] = \left( {2;1;0} \right)\].

Ta có \[\left( P \right):2\left( {x - 10} \right) + 1\left( {y - 50} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 70 = 0\].

Đường thẳng \[AB\] vuông góc với \[\left( P \right)\] nên nhận vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\] làm vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;1;0} \right)\]. Phương trình đường thẳng \[AB\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 2t\\y = 40 + t\\z = 120\end{array} \right.\].

\[B\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên ta có

\[2\left( {30 + 2t} \right) + 40 + t - 70 = 0 \Leftrightarrow 5t = - 30 \Leftrightarrow t = - 6\]

\[ \Rightarrow B\left( {18;34;120} \right) \Rightarrow OB = \sqrt {{{18}^2} + {{34}^2} + {{120}^2}} \approx 126\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Đán án: 126.

Câu 2

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí \(A\left( {5;\,0;\,0} \right)\) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng kilomet), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch \(B\) đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\end{array} \right.\). Tàu chở hàng \(C\) đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng \({d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - s\\y = 11 + s\\z = 0\end{array} \right.\). Do thời tiết xấu, nên hai tàu \(B\) và \(C\) gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ \(A\) để lần lượt tiếp cận tàu du lịch \(B\) trước, sau đó đến tàu chở hàng \(C\). Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch \(B\) dừng lại và tàu chở hàng \(C\) dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi \(T = AB + BC + CA\) là nhỏ nhất. Khi đó \({T_{\min }} = \sqrt a \,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\), hãy tính \(a + 2026\).

Xem đáp án

Lời giải

Chúng ta cần tìm vị trí tối ưu của tàu du lịch \(B\) (tương ứng với điểm \(B\)) và tàu chở hàng \(C\) (tương ứng với điểm \(C\)) sao cho tổng quãng đường cứu hộ \(T = AB + BC + CA\) là nhỏ nhất.

Trong không gian \(Oxyz\), ta có:

Hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,z = 0\) và \(A \in \left( \alpha \right)\).

\({d_1}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {1;\, - 2;\,0} \right)\); \({d_2}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},\,{{\vec u}_2}} \right] \ne \vec 0\) nên \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

Gọi \({A_1},\,{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A\) qua \({d_1}\) và \({d_2}\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1}\)\( \Rightarrow \,\,\left( P \right):x - 2y - 5 = 0\).

Gọi \(I = \left( P \right) \cap {d_1}\), thì tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ \[{d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\\x - 2y - 5 = 0\end{array} \right.\]\( \Rightarrow I\left( {3;\, - 1;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_1}\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_2}\)\( \Rightarrow \,\left( Q \right): - x + y + 5 = 0\).

Gọi \(J = \left( Q \right) \cap {d_2}\), thì tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - s\\y = 11 + s\\z = 0\\ - x + y + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow J\left( {9;\,4;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_2}\left( {13;\,8;\,0} \right)\).

Khi đó \(T = AB + BC + CA = {A_1}B + BC + C{A_2} \ge {A_1}{A_2}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(B,\,C,\,{A_1},\,{A_2}\) thẳng hàng.

Vậy \(T\) đạt GTNN khi \(T = {A_1}{A_2}\)\( \Rightarrow {T_{\min }} = {A_1}{A_2} = \sqrt {244} \,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Suy ra \(a = 244\). Vậy \(a + 2026 = 2270\).

Đáp án: 2270.

Câu 3