Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\rm{\% }}\) và phân xưởng thứ hai sản xuất \(40{\rm{\% }}\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là \(16{\rm{\% }}\) và \(20{\rm{\% }}\). Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

a) Xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Xác suất để lấy được phế phẩm bằng 0,176.

c) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất bằng 0,55 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

d) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ hai sản xuất là cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.

a) Đúng. Do phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\rm{\% }}\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy nên xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Đúng. Gọi A là biến cố: “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ nhất”.

Khi đó \(\overline A \) là biến cố: “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ hai”.

Gọi B là biến cố: “Chọn được sản phẩm là phế phẩm”.

Theo bài ra ta có \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,16;P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\mid \overline A } \right)\)\( = 0,6 \cdot 0,16 + 0,4 \cdot 0,2 = 0,176\).

Vậy xác suất lấy được phế phẩm là 0,176.

c) Đúng. Chọn được phế phẩm, biến cố phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là \(A\mid B\), áp dụng công thức Bayes, ta được:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,16}}{{0,176}} = \frac{6}{{11}} \approx 0,55\).

d) Sai. Khi lấy được sản phẩm tốt, để so sánh khả năng sản phẩm thuộc phân xưởng nào, ta tính xác suất để sản phẩm tốt được chọn ấy thuộc phân xưởng thứ nhất, nếu xác suất này quá bán thì khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là cao hơn và ngược lại.

Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,176 = 0,824\); \(P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,16 = 0,84\).

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A\mid \overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B \mid A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,84}}{{0,824}} \approx 0,61 > 0,5\).

Vậy khả năng sản phẩm tốt được chọn từ phân xưởng thứ nhất cao hơn.