Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\rm{\% }}\) và phân xưởng thứ hai sản xuất \(40{\rm{\% }}\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là \(16{\rm{\% }}\) và \(20{\rm{\% }}\). Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

a) Xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Xác suất để lấy được phế phẩm bằng 0,176.

c) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất bằng 0,55 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

d) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ hai sản xuất là cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.

Gọi \(X,Y,Z\) tương ứng là các biến cố: Công ty trúng thầu dự án \(X,\,Y,\,Z\).

Các biến \(X,Y,Z\) độc lập và \(P\left( X \right) = a;\,\,P\left( Y \right) = b;\,\,P\left( Z \right) = 0,8\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {X \cup Y \cup Z} \right) = 0,964\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X \cap \bar Y \cap \bar Z} \right) = 0,036\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X} \right)P\left( {\bar Y} \right)P\left( {\bar Z} \right) = 0,036\\P\left( X \right)P\left( Y \right)P\left( Z \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - 0,8} \right) = 0,036\\0,8 \cdot a \cdot b = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 0,28\\a + b = 1,1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,7\\b = 0,4\end{array} \right.\) (do điều kiện \(a > b\)).

Vậy \(2a + b = 1,8.\)

a) Đúng. Lấy một tấm thẻ từ hộp I có 8 cách.

Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là \(8 \cdot 9 = 72\) cách.

b) Sai. Gọi biến cố \(A:\) “Lấy được hai thẻ sao cho ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ)”.

Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có \(2 \cdot 3 = 6\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là \(6 + 9 + 9 = 24\) cách.

Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{72}} = \frac{1}{3}\).

c) Đúng. Gọi biến cố \(B\): “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”.

Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là \(n\left( B \right) = 8\).

Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{72}} = \frac{1}{9}\).

d) Sai. Gọi biến cố \(C\): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”.

\( \Rightarrow \) \(\overline C \): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”.

Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ \( \Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = 4 \cdot 5 = 20\).

Do đó, \(P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{72}} = \frac{5}{{18}}\). Vậy \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).