Có \[6\] học sinh lớp \[11\] và \[3\] học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để khi xếp ngẫu nhiên \[9\] học sinh đó sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng cạnh nhau bằng \[\frac{a}{b}\] (trong đó \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó \[2a + b\] bằng bao nhiêu?

Gọi \(X,Y,Z\) tương ứng là các biến cố: Công ty trúng thầu dự án \(X,\,Y,\,Z\).

Các biến \(X,Y,Z\) độc lập và \(P\left( X \right) = a;\,\,P\left( Y \right) = b;\,\,P\left( Z \right) = 0,8\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {X \cup Y \cup Z} \right) = 0,964\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X \cap \bar Y \cap \bar Z} \right) = 0,036\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X} \right)P\left( {\bar Y} \right)P\left( {\bar Z} \right) = 0,036\\P\left( X \right)P\left( Y \right)P\left( Z \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - 0,8} \right) = 0,036\\0,8 \cdot a \cdot b = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 0,28\\a + b = 1,1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,7\\b = 0,4\end{array} \right.\) (do điều kiện \(a > b\)).

Vậy \(2a + b = 1,8.\)

a) Đúng. Lấy một tấm thẻ từ hộp I có 8 cách.

Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là \(8 \cdot 9 = 72\) cách.

b) Sai. Gọi biến cố \(A:\) “Lấy được hai thẻ sao cho ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ)”.

Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có \(2 \cdot 3 = 6\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là \(6 + 9 + 9 = 24\) cách.

Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{72}} = \frac{1}{3}\).

c) Đúng. Gọi biến cố \(B\): “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”.

Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là \(n\left( B \right) = 8\).

Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{72}} = \frac{1}{9}\).

d) Sai. Gọi biến cố \(C\): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”.

\( \Rightarrow \) \(\overline C \): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”.

Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ \( \Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = 4 \cdot 5 = 20\).

Do đó, \(P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{72}} = \frac{5}{{18}}\). Vậy \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).