Khảo sát những người xem bộ phim hoạt hình vừa được phát hành cho thấy \(70\% \) người xem là trẻ em và \(30\% \) là người lớn. Trong số các trẻ em đến xem phim có \(50\% \) yêu thích bộ phim và khẳng định sẽ đi xem tiếp phần 2, \(30\% \) yêu thích bộ phim nhưng sẽ không xem tiếp phần 2; \(20\% \) còn lại không thích bộ phim và không xem tiếp phần 2. Trong số những người lớn đi xem phim có \(20\% \) yêu thích bộ phim và khẳng định sẽ xem tiếp phần 2, \(10\% \) yêu thích bộ phim nhưng sẽ không xem tiếp phần 2; \(70\% \) còn lại không thích bộ phim và không xem tiếp phần 2. Chọn ngẫu nhiên 1 người đã xem phim.

a) Biết người được chọn là trẻ em, xác suất để người đó yêu thích bộ phim là \(0,56\).

b) Xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 là \(0,59\).

c) Biết người đó sẽ xem tiếp phần 2 của bộ phim, xác suất để người đó là trẻ em lớn hơn \(0,85\).

d) Biết người đó yêu thích bộ phim, xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 là \(0,37\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi \(X,Y,Z\) tương ứng là các biến cố: Công ty trúng thầu dự án \(X,\,Y,\,Z\).

Các biến \(X,Y,Z\) độc lập và \(P\left( X \right) = a;\,\,P\left( Y \right) = b;\,\,P\left( Z \right) = 0,8\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {X \cup Y \cup Z} \right) = 0,964\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X \cap \bar Y \cap \bar Z} \right) = 0,036\\P\left( {X \cap Y \cap Z} \right) = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {\bar X} \right)P\left( {\bar Y} \right)P\left( {\bar Z} \right) = 0,036\\P\left( X \right)P\left( Y \right)P\left( Z \right) = 0,224\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - 0,8} \right) = 0,036\\0,8 \cdot a \cdot b = 0,224\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 0,28\\a + b = 1,1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,7\\b = 0,4\end{array} \right.\) (do điều kiện \(a > b\)).

Vậy \(2a + b = 1,8.\)

a) Đúng. Lấy một tấm thẻ từ hộp I có 8 cách.

Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là \(8 \cdot 9 = 72\) cách.

b) Sai. Gọi biến cố \(A:\) “Lấy được hai thẻ sao cho ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ)”.

Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có \(2 \cdot 3 = 6\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có \(3 \cdot 3 = 9\) cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là \(6 + 9 + 9 = 24\) cách.

Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{72}} = \frac{1}{3}\).

c) Đúng. Gọi biến cố \(B\): “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”.

Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là \(n\left( B \right) = 8\).

Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{72}} = \frac{1}{9}\).

d) Sai. Gọi biến cố \(C\): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”.

\( \Rightarrow \) \(\overline C \): “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”.

Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ \( \Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = 4 \cdot 5 = 20\).

Do đó, \(P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{72}} = \frac{5}{{18}}\). Vậy \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).