Để đường thẳng \(y = \left( {m + 2} \right)x + 6\;\,\left( {m \ne - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(y = x + 1\) thì

Đáp án: \(3\)

Gọi \(I\left( {{x_0};\;\,{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Khi đó, tọa độ \(I\) thỏa mãn \({y_0} = 2{x_0} + 1\) và \({y_0} = {x_0} - 1.\) Suy ra \(2{x_0} + 1 = {x_0} - 1\) hay \({x_0} = - 2.\)

Suy ra \(I\left( { - 2;\;\,{y_0}} \right).\)

Vì điểm \(I\left( { - 2;\;\,{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) nên \({y_0} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3.\) Suy ra \(I\left( { - 2;\;\, - 3} \right).\)

Để 3 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\;\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy tại một điểm thì \(I\left( { - 2;\;\, - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right).\)

Do đó: \( - 3 = m \cdot \left( { - 2} \right) + 3\) suy ra \(m = 3.\) Vậy \(m = 3\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(9\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng \( - 1\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng \(y = - x + b.\)

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;4} \right)\) nên \(4 = - 1 + b,\) suy ra \(b = 5.\) Do đó: \(\left( d \right):y = - x + 5.\)

Thay \(x = - 4\) vào \(\left( d \right):y = - x + 5\) ta có: \(y = - \left( { - 4} \right) + 5 = 9.\) Do đó, \(I\left( { - 4;\;\,9} \right).\) Vậy \(m = 9.\)