Cho tam giác \[ABC\] không vuông tại \[A\]. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác \[ABD,{\rm{ }}ACE\] vuông cân tại đỉnh \[A\] rồi dựng hình bình hành \[AEID\]. Biết \[\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\].

a) Chứng minh đường thẳng \[AI\] vuông góc với \[BC\].

b) Chứng minh đường thẳng \[BE\] vuông góc với đường thẳng \[CD\].

c) Gọi \[K\] là trung điểm của \[BD\], chứng minh \[KC = KI\] và \[KC\] vuông góc với \[KI\].

a) Giả sử \[AI\] cắt \[BC\] ở \[H\].

Ta có: \[\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = 180^\circ \], mà \[\widehat {DAB} = 90^\circ \] (do \[\Delta DAB\] vuông cân tại \[A\])

Suy ra \[\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = 90^\circ \]

Mà \[\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\] (gt) nên \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \]

Trong \[\Delta ABH\] có: \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {AHB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \] hay \[AI \bot BC\] tại \(H\).

b) Ta có \[\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ \] và \[\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \]

Do đó \[\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\].

Xét \[\Delta BAE\] và \[\Delta DAC\] có:

\[AB = AD;\,\,\widehat {BAE} = \widehat {DAC};\,\,AC = AE\];

Do đó \[\Delta BAE = \Delta DAC\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc tương ứng)

Gọi \[J\] là giao của \[DC\] và \[BE\], ta có \[\widehat {JBA} = \widehat {JDA}.\]

Gọi \[P\] là giao điểm của \[AB\] và \[CD\].

Tam giác \[ADP\] vuông tại \[A\] nên \(\widehat {PDA} + \widehat {DPA} = 90^\circ \)

Mà \[\widehat {PDA} = \widehat {JBP}\] và \(\widehat {DPA} = \widehat {BPJ}\) (đối đỉnh)

Do đó \(\widehat {JBP} + \widehat {BPJ} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {PJB} = 90^\circ \) hay \[CD\] vuông góc với \[BE\].

c) Ta có \(\widehat {DAE} + \widehat {BAD} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {BAC} = 360^\circ  - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {CAE}} \right) = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - \widehat {DAE}\). Lại có \(\widehat {IDA} = 180^\circ  - \widehat {DAE}\) (do \(AEID\) là hình bình hành).

Nên \(\widehat {BAC} = \widehat {IDA}\). Từ đó ta chứng minh được \[\Delta ADI = \Delta BAC\] (g.c.g).

Tam giác \[ABD\] vuông cân tại \[A\] nên \[AK\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó \(\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = 45^\circ \) nên \[\Delta ABK\] vuông cân tại \[K\], do đó \[KA = KB\].

Ta có: \[\widehat {KAI} = \widehat {DAK} + \widehat {DAI} = 45^\circ  + \widehat {DAI} = 45^\circ  + \widehat {ABC}\].

Mặt khác \[\widehat {KBC} = \widehat {ABK} + \widehat {ABC} = 45^\circ  + \widehat {ABC}\] (do \[\Delta ABD\] vuông cân tại \[A\] nên \(\widehat {ABK} = 45^\circ )\).

Do đó \(\widehat {KAI} = \widehat {KBC}\).

Xét \[\Delta AKI\] và \[\Delta BKC\] có:

\(AK = BK,\,\,\widehat {KAI} = \widehat {KBC},\,\,AI = BC\) (do \[\Delta ADI = \Delta BAC\])

Suy ra \[\Delta AKI = \Delta BKC\] (c.g.c) nên \[KI = KC\] và \[\widehat {AKI} = \widehat {BKC}\].

Ta có: \(\widehat {AKC} + \widehat {BKC} = 90^\circ \)

Mà \[\widehat {AKI} = \widehat {BKC}\] nên \(\widehat {AKC} + \widehat {AKI} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IKC} = 90^\circ \) nên \[KI\] và \[KC\] vuông góc.