Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 12\;{\rm{cm, }}BC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm thuộc tia đối của tia \(DA\) sao cho \(DE = \frac{1}{4}AE.\)

a) Đúng.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Do đó, \(AD \bot BC\) tại \(D.\) Suy ra, \(\Delta ADC\) vuông tại \(D.\)

b) Đúng.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 12\;{\rm{cm}}.\) Ta có: \(DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(A{D^2} + D{C^2} = A{C^2}\)

\(A{D^2} = A{C^2} - A{D^2} = {12^2} - {3^2} = 135\)

\(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(DE = \frac{1}{4}AE\) nên \(DE = \frac{1}{3}AD = \frac{{\sqrt {135} }}{3}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta EDC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(E{C^2} = E{D^2} + D{C^2} = {\left( {\frac{{\sqrt {135} }}{3}} \right)^2} + {3^2} = 24\) nên \(EC = \sqrt {24} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Chu vi \(\Delta DEC\) là: \(P = EC + ED + DC = \sqrt {24} + \frac{{\sqrt {135} }}{3} + 3 \approx 11,8 < 12.\)

Vậy chu vi \(\Delta DEC\) nhỏ hơn \(12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)