Cho đoạn thẳng \(MN\) là đoạn thẳng \(AB\) sau khi phóng to với tỉ số 2, đoạn thẳng \(PQ\) là đoạn thẳng \(MN\) sau khi thu nhỏ với tỉ số \(0,25.\) Hỏi độ dài đoạn thẳng \(AB\) gấp bao nhiêu lần độ dài đoạn thẳng \(PQ?\)

Đáp án: \(3\)

Độ dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là: \(\sqrt {36} = 6\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Độ dài cạnh của hình vuông \(MNPQ\) là: \(72:4 = 18\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Hình vuông \(MNPQ\) đồng dạng với hình vuông \(ABCD\) theo tỉ số là: \(18:6 = 3.\)

Vậy hình vuông \(MNPQ\) đồng dạng với hình vuông \(ABCD\) theo tỉ số bằng 3.

a) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta OAB\) vuông tại \(A\) ta có:

\(O{B^2} = O{A^2} + A{B^2} = {8^2} + {6^2} = 100,\) suy ra \(OB = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(OB = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Vì đoạn thẳng \(MN\) là hình đồng dạng phối cảnh của đoạn thẳng \(AB\) tâm \(O\) tỉ số \(0,5\) nên

\(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}} = 0,5.\)

c) Đúng.

Vì \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}} = 0,5\) nên

\(MN = 0,5 \cdot AB = 3\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right),\;\,MO = 0,5 \cdot OA = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right),\;\,ON = 0,5 \cdot OB = 5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi tam giác \(OMN\) là: \(OM + ON + MN = 4 + 5 + 3 = 12\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi tam giác \(OMN\) lớn hơn \(10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

\(\Delta AOB\) có: \(\frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;AB\) suy ra tứ giác \(AMNB\) là hình thang.

Lại có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên tứ giác \(AMNB\) là hình thang vuông.

Diện tích hình thang \(AMNB\) là: \(\frac{1}{2}\left( {MN + AB} \right) \cdot MA = \frac{1}{2}\left( {3 + 6} \right) \cdot 4 = 18\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tứ giác \(AMNB\) nhỏ hơn \(20\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)