Biết rằng tam giác đều \(HIK\) là tam giác đều \(ABC\) thu nhỏ với tỉ số \(k = \frac{1}{3}.\) Biết rằng chu vi tam giác \(HIK\) bằng \(90\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Hỏi độ dài cạnh của tam giác \(ABC\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm?}}\)

a) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta OAB\) vuông tại \(A\) ta có:

\(O{B^2} = O{A^2} + A{B^2} = {8^2} + {6^2} = 100,\) suy ra \(OB = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(OB = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Vì đoạn thẳng \(MN\) là hình đồng dạng phối cảnh của đoạn thẳng \(AB\) tâm \(O\) tỉ số \(0,5\) nên

\(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}} = 0,5.\)

c) Đúng.

Vì \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}} = 0,5\) nên

\(MN = 0,5 \cdot AB = 3\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right),\;\,MO = 0,5 \cdot OA = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right),\;\,ON = 0,5 \cdot OB = 5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi tam giác \(OMN\) là: \(OM + ON + MN = 4 + 5 + 3 = 12\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi tam giác \(OMN\) lớn hơn \(10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

\(\Delta AOB\) có: \(\frac{{MO}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;AB\) suy ra tứ giác \(AMNB\) là hình thang.

Lại có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên tứ giác \(AMNB\) là hình thang vuông.

Diện tích hình thang \(AMNB\) là: \(\frac{1}{2}\left( {MN + AB} \right) \cdot MA = \frac{1}{2}\left( {3 + 6} \right) \cdot 4 = 18\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tứ giác \(AMNB\) nhỏ hơn \(20\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án đúng là: A

Vì đoạn thẳng \({A_1}{B_1}\) là hình đồng dạng phối cảnh tâm \(O\) tỉ số 3 của đoạn thẳng \(AB\) nên \({A_1}{B_1} = 3AB.\)