(1,0 điểm) Khu vườn nhà anh T có dạng miền tứ giác \[ABCD\] với các kích thước đo đạc được ghi trên hình vẽ bên dưới:

 

a) Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến điểm \[B\] (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).

b) Tính diện tích khu vườn đó (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\)

Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên \(x \le 45,\,\,y \le 80\).

Sản xuất \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là \(12x + 9y\).

Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên \(12x + 9y \le 900\) hay tương đương với \(4x + 3y \le 300\).

Tiền lãi thu được khi bán \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai là \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) (đồng).

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\)để \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) (kể cả biên) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)\).

Người ta chứng minh được \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).

Ta có: \(T\left( {0;\,\,0} \right) = 0\);

\(T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000\);

\(T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000\);

\(T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000\);

\(T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000\).

Do đó, \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)\).

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.