Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật, rồi cắt theo đường nét đứt như hình sau đó trải tờ giấy ra. Hình vừa cắt được là hình gì?

a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: \(8\,\,.\,\,9 = 72\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Vậy diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là \(72\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

b) Diện tích mảnh đất hình vuông dùng để trồng rau là: \({7^2} = 49\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Diện tích phần lối đi xung quanh là: \(72 - 49 = 23\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Vậy diện tích phần lối đi xung quanh là \(23\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có \(A = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{119}} + {7^{120}}\)

\( = \left( {{7^1} + {7^2} + {7^3}} \right) + \left( {{7^4} + {7^5} + {7^6}} \right) + ... + \left( {{7^{118}} + {7^{119}} + {7^{120}}} \right)\)

\( = 7\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^4}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + ... + {7^{118}}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right)\)

\( = 7\,\,.\,\,57 + {7^4}\,\,.\,\,57 + ... + {7^{118}}\,\,.\,\,57\)\( = 57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right)\).

Vì \(57\,\, \vdots \,\,57\) nên \(57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right)\,\, \vdots \,\,57\).

Vậy biểu thức \[A\] chia cho hết cho 57.